【Edição do Ministério da Educação】Matemática do Ensino Médio, Obrigatório de Eleição, Volume 3 (Versão A): Fundamentos da Contagem: Princípio da Adição por Classificação e Princípio da Multiplicação por Etapas

Contagem (Contagem)é essencialmente 'contar (shǔ) todos os números possíveis de uma sequência sob um determinado plano'. É a base da matemática combinatória, com o objetivo de desmembrar logicamente eventos complexos em operações locais simples, mutuamente exclusivas ou ordenadas.

Imagine que você precisa entrar em um pátio:
1. Adição por Classificação (Paralela)Há $m$ portas à esquerda e $n$ portas à direita na parede. Você só precisa escolher uma para entrar. Número de métodos: $m+n$.
2. Multiplicação por Etapas (Seriada)Você precisa atravessar duas paredes. A primeira tem $m$ portas e a segunda tem $n$ portas. Você deve passar por ambas. Número de métodos: $m \times n$.

Definições Centrais dos Princípios de Contagem

Princípio de Contagem por Adição por ClassificaçãoAplica-se a problemas de 'classificação', onde cada categoria pode completar a tarefa independentemente. O núcleo é a união disjunta de conjuntos: $N = m_1 + m_2 + \dots + m_n$.

Princípio de Contagem por Multiplicação por EtapasAplica-se a problemas de 'etapas', onde as etapas dependem umas das outras e todas devem ser concluídas para finalizar a tarefa. O núcleo é o produto cartesiano de caminhos: $N = m_1 \times m_2 \times \dots \times m_n$.

Classificação enfatiza 'independência e completude'; etapas enfatizam 'dependência e continuidade'.

Classificação Independente $\implies \sum n_i$
Etapas Contínuas $\implies \prod m_i$

PERGUNTA 1

Uma tarefa pode ser realizada de 2 maneiras diferentes. Há 5 pessoas que conhecem apenas a primeira maneira, e mais 4 pessoas que conhecem apenas a segunda maneira. De quantas formas diferentes podemos escolher uma pessoa para realizar essa tarefa?

PERGUNTA 2

Existem 3 rotas de A até B, e 2 rotas de B até C. Quantas rotas diferentes existem de A, passando por B, até C?

PERGUNTA 3

No Exemplo 1, se a Universidade A oferece 6 cursos e a Universidade B oferece 4 cursos. Se usarmos o princípio da adição por classificação para obter total de $6+4=10$, em que situação esse resultado estaria errado?

Quando a Universidade A tem mais prestígio do que a Universidade B

Quando ambas as universidades têm cursos iguais

Quando os alunos querem se inscrever apenas em um curso

Quando a Universidade A oferece mais cursos que a Universidade B

PERGUNTA 4

Na prateleira superior há 6 livros diferentes de matemática; na inferior, há 5 livros diferentes de chinês. De quantas formas diferentes podemos pegar um livro de matemática e um de chinês, um de cada?

PERGUNTA 5

Há 3 alunos do primeiro ano, 5 do segundo ano e 4 do terceiro ano. De quantas formas diferentes podemos escolher uma pessoa para participar de um evento?

PERGUNTA 6

Quantos números entre 1, 2, ..., 500 deixam resto 2 quando divididos por 5?

100

101

PERGUNTA 7

Quantos termos existem após expandir o produto $(a_1+a_2+\dots+a_m)(b_1+b_2+\dots+b_n)$?

$m+n$

$m \times n$

$2(m+n)$

$m^n$

PERGUNTA 8

Um número de telefone possui 8 dígitos. Os primeiros 4 dígitos são fixos, e os últimos 4 podem ser quaisquer números de 0 a 9. Qual é o número máximo de números de telefone diferentes?

$10 \times 4 = 40$

$10^4 = 10000$

$4^{10}$

$9^4$

PERGUNTA 9

Quantas diagonais tem um dodecágono regular?

132

PERGUNTA 10

Se um conjunto possui $n$ elementos, quantos subconjuntos ele possui?

$n^2$

$2n$

$2^n$

$n!$